e do kolekcji

 

e = 2 + Sum_{n>=0} 1 / (n!(n+3))

fi łańcuchowe inaczej

 

fi=sqrt(2+1/sqrt(2+1/sqrt(2+...)))

jeszcze jedno Pi

 

Pi = 6 - Sum_{n>=1} 1/((n+0,5)(n-0,5)) + 1/(2(n+0,25)(n-0,25))

sześciokątna piramida z kul - wzory rekurencyjne

 

a(n+1)=((n+2)/2)^4-(n/2)^4-a(n)

a(n+1)=int(3(n/2)^2+3(n/2)+1)+a(n)

a(0)=0

a(1)=1

a(n+2)=1,5n(n+3)+4+a(n)

postać kombinatoryczna liczby doskonałej

p – wykładnik dwójki w liczbach Mersenne'a
(                                                                          d-liczba doskonała
2                                                                         6=C(6,1)   wyjątek od reguły
3       (p-1) niepodzielne przez 4                      28=C(8,2)
5       (p-1)      podzielne przez 4                    496=C(12,0)+C(12,4)
7       (p-1) niepodzielne przez 4                  8128=C(16,2)+C(16,6)
13     (p-1)      podzielne przez 4          33550336=C(28,0)+C(28,4)+C(28,8)+C(28,12)
17     (p-1)      podzielne przez 4      8589869056=C(36,0)+C(36,4)+C(36,8)+C(36,12)+C(36,16)
19     (p-1) niepodzielne przez 4  137438691328=C(40,2)+C(40,6)+C(40,10)+C(40,14)+C(40,18)
 
Podzielności lub nie (p-1) przez 4 odpowiada końcówka liczby doskonałej 6 lub 8,
oraz to, czy k w sumach kombinacji zaczyna się od 0 lub 2 by kroczyć co 4.
 
dla d>6
 
dla (p-1)      podzielnego przez 4        d=suma {K=0,1,2....int(p/4)}  C((2*p+2),(4*K))
 
dla (p-1) niepodzielnego przez 4        d=suma {K=0,1,2....int(p/4)}  C((2*p+2),(4*K+2))
 
 
C(n,k) – kombinacja
int(a) – wartość całkowita

Oprócz tego istnieje znana i o wiele prostsza postać d=C(2^p,2)
 

piramida krzyżowa

Piramida krzyżowa jest to zwykła piramida patrząc z boku, zbudowana na podstawie w kształcie krzyża patrząc z góry.

Jeżeli n jest liczbą klocków najwyższego słupka, to liczba klocków składających się na piramidę krzyżową wynosi:  

2(n^2)-n  (zwykła piramida to n^2, piramidę krzyżową składam z dwóch zwykłych piramid i muszę wyrzucić jeden najwyższy słupek)

n(2n-1)

za n podstawiam 2^(p-1)

(2^(p-1))*(2*(2^(p-1))-1)

(2^(p-1))*((2^p)-1)  (znany wzór na liczby doskonałe parzyste)

Każdą parzystą liczbę doskonałą można przedstawić jako piramidę krzyżową, chociaż nie każda piramida krzyżowa jest odpowiednikiem parzystej liczby doskonałej.

Patrząc na taką bryłę, można też zauważyć, że liczba doskonała jest sumą co drugich liczb nieparzystych, począwszy od jedynki.

6=1+5

28=1+5+9+13