ułamek łańcuchowy z mnożeniem

 

2/Pi = 1*(1/(2*(2/(3*(3/...)))))

coś z liczbami pierwszymi

 

Sum_{p=2,3,5,7,11,...} (1/k^p) = (k^7+k^6+k^4+k^2-k-1) / (k^9-k^3) , k>=2

e do kolekcji

 

e = 2 + Sum_{n>=0} 1 / (n!(n+3))

fi łańcuchowe inaczej

 

fi=sqrt(2+1/sqrt(2+1/sqrt(2+...)))

jeszcze jedno Pi

 

Pi = 6 - Sum_{n>=1} 1/((n+0,5)(n-0,5)) + 1/(2(n+0,25)(n-0,25))

sześciokątna piramida z kul - wzory rekurencyjne

 

a(n+1)=((n+2)/2)^4-(n/2)^4-a(n)

a(n+1)=int(3(n/2)^2+3(n/2)+1)+a(n)

a(0)=0

a(1)=1

a(n+2)=1,5n(n+3)+4+a(n)

postać kombinatoryczna liczby doskonałej

p – wykładnik dwójki w liczbach Mersenne'a
(                                                                          d-liczba doskonała
2                                                                         6=C(6,1)   wyjątek od reguły
3       (p-1) niepodzielne przez 4                      28=C(8,2)
5       (p-1)      podzielne przez 4                    496=C(12,0)+C(12,4)
7       (p-1) niepodzielne przez 4                  8128=C(16,2)+C(16,6)
13     (p-1)      podzielne przez 4          33550336=C(28,0)+C(28,4)+C(28,8)+C(28,12)
17     (p-1)      podzielne przez 4      8589869056=C(36,0)+C(36,4)+C(36,8)+C(36,12)+C(36,16)
19     (p-1) niepodzielne przez 4  137438691328=C(40,2)+C(40,6)+C(40,10)+C(40,14)+C(40,18)
 
Podzielności lub nie (p-1) przez 4 odpowiada końcówka liczby doskonałej 6 lub 8,
oraz to, czy k w sumach kombinacji zaczyna się od 0 lub 2 by kroczyć co 4.
 
dla d>6
 
dla (p-1)      podzielnego przez 4        d=suma {K=0,1,2....int(p/4)}  C((2*p+2),(4*K))
 
dla (p-1) niepodzielnego przez 4        d=suma {K=0,1,2....int(p/4)}  C((2*p+2),(4*K+2))
 
 
C(n,k) – kombinacja
int(a) – wartość całkowita

Oprócz tego istnieje znana i o wiele prostsza postać d=C(2^p,2)